Q1. Factorize:
(i) $a^3 + 27$
(ii) $1 - 8a^3$
(iii) $a^3b^3 + c^3$
(iv) $64 - a^3b^3$
(v) $a^6 + 27b^3$
Show Answer
(i) $a^3 + 27$
$\Rightarrow a^3 + (3)^3$
$\Rightarrow (a + 3)(a^2 - (a)(3) + (3)^2)$
$\Rightarrow (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$ Ans
(ii) $1 - 8a^3$
$\Rightarrow (1)^3 - (2a)^3$
$\Rightarrow (1 - 2a)((1)^2 + (1)(2a) + (2a)^2)$
$\Rightarrow (1 - 2a)(1 + 2a + 4a^2)$ Ans
(iii) $a^3b^3 + c^3$
$\Rightarrow (ab)^3 + (c)^3$
$\Rightarrow (ab + c)((ab)^2 - (ab)(c) + (c)^2)$
$\Rightarrow (ab + c)(a^2b^2 - abc + c^2)$ Ans
(iv) $64 - a^3b^3$
$\Rightarrow (4)^3 - (ab)^3$
$\Rightarrow (4 - ab)((4)^2 + (4)(ab) + (ab)^2)$
$\Rightarrow (4 - ab)(16 + 4ab + a^2b^2)$ Ans
(v) $a^6 + 27b^3$
$\Rightarrow (a^2)^3 + (3b)^3$
$\Rightarrow (a^2 + 3b)((a^2)^2 - (a^2)(3b) + (3b)^2)$
$\Rightarrow (a^2 + 3b)(a^4 - 3a^2b + 9b^2)$ Ans
$\Rightarrow a^3 + (3)^3$
$\Rightarrow (a + 3)(a^2 - (a)(3) + (3)^2)$
$\Rightarrow (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$ Ans
(ii) $1 - 8a^3$
$\Rightarrow (1)^3 - (2a)^3$
$\Rightarrow (1 - 2a)((1)^2 + (1)(2a) + (2a)^2)$
$\Rightarrow (1 - 2a)(1 + 2a + 4a^2)$ Ans
(iii) $a^3b^3 + c^3$
$\Rightarrow (ab)^3 + (c)^3$
$\Rightarrow (ab + c)((ab)^2 - (ab)(c) + (c)^2)$
$\Rightarrow (ab + c)(a^2b^2 - abc + c^2)$ Ans
(iv) $64 - a^3b^3$
$\Rightarrow (4)^3 - (ab)^3$
$\Rightarrow (4 - ab)((4)^2 + (4)(ab) + (ab)^2)$
$\Rightarrow (4 - ab)(16 + 4ab + a^2b^2)$ Ans
(v) $a^6 + 27b^3$
$\Rightarrow (a^2)^3 + (3b)^3$
$\Rightarrow (a^2 + 3b)((a^2)^2 - (a^2)(3b) + (3b)^2)$
$\Rightarrow (a^2 + 3b)(a^4 - 3a^2b + 9b^2)$ Ans
Q2. Factorize:
(i) $2a^3 - 54b^3$
(ii) $3x^7y - 81x^4y^4$
(iii) $a^3 - \dfrac{27}{a^3}$
(iv) $a^3 + 0.064$
(v) $a^4 - 343a$
Show Answer
(i) $2a^3 - 54b^3$
$\Rightarrow 2(a^3 - 27b^3)$
$\Rightarrow 2[(a)^3 - (3b)^3]$
$\Rightarrow 2(a - 3b)((a)^2 + (a)(3b) + (3b)^2)$
$\Rightarrow 2(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$ Ans
(ii) $3x^7y - 81x^4y^4$
$\Rightarrow 3x^4y(x^3 - 27y^3)$
$\Rightarrow 3x^4y[(x)^3 - (3y)^3]$
$\Rightarrow 3x^4y(x - 3y)((x)^2 + (x)(3y) + (3y)^2)$
$\Rightarrow 3x^4y(x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)$ Ans
(iii) $a^3 - \dfrac{27}{a^3}$
$\Rightarrow a^3 - (\dfrac{3}{a})^3$
$\Rightarrow (a - \dfrac{3}{a})((a)^2 + (a)(\dfrac{3}{a}) + (\dfrac{3}{a})^2)$
$\Rightarrow (a - \dfrac{3}{a})(a^2 + 3 + \dfrac{9}{a^2})$ Ans
(iv) $a^3 + 0.064$
$\Rightarrow a^3 + \dfrac{64}{1000}$
$\Rightarrow a^3 + (\dfrac{4}{10})^3$
$\Rightarrow (a)^3 + (0.4)^3$
$\Rightarrow (a + 0.4)((a)^2 - (a)(0.4) + (0.4)^2)$
$\Rightarrow (a + 0.4)(a^2 - 0.4a + 1.6)$ Ans
(v) $a^4 - 343a$
$\Rightarrow a((a)^3 - (7)^3)$
$\Rightarrow a(a - 7)((a)^2 + (a)(7) + (7)^2)$
$\Rightarrow a(a - 7)(a^2 + 7a + 49)$ Ans
$\Rightarrow 2(a^3 - 27b^3)$
$\Rightarrow 2[(a)^3 - (3b)^3]$
$\Rightarrow 2(a - 3b)((a)^2 + (a)(3b) + (3b)^2)$
$\Rightarrow 2(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$ Ans
(ii) $3x^7y - 81x^4y^4$
$\Rightarrow 3x^4y(x^3 - 27y^3)$
$\Rightarrow 3x^4y[(x)^3 - (3y)^3]$
$\Rightarrow 3x^4y(x - 3y)((x)^2 + (x)(3y) + (3y)^2)$
$\Rightarrow 3x^4y(x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)$ Ans
(iii) $a^3 - \dfrac{27}{a^3}$
$\Rightarrow a^3 - (\dfrac{3}{a})^3$
$\Rightarrow (a - \dfrac{3}{a})((a)^2 + (a)(\dfrac{3}{a}) + (\dfrac{3}{a})^2)$
$\Rightarrow (a - \dfrac{3}{a})(a^2 + 3 + \dfrac{9}{a^2})$ Ans
(iv) $a^3 + 0.064$
$\Rightarrow a^3 + \dfrac{64}{1000}$
$\Rightarrow a^3 + (\dfrac{4}{10})^3$
$\Rightarrow (a)^3 + (0.4)^3$
$\Rightarrow (a + 0.4)((a)^2 - (a)(0.4) + (0.4)^2)$
$\Rightarrow (a + 0.4)(a^2 - 0.4a + 1.6)$ Ans
(v) $a^4 - 343a$
$\Rightarrow a((a)^3 - (7)^3)$
$\Rightarrow a(a - 7)((a)^2 + (a)(7) + (7)^2)$
$\Rightarrow a(a - 7)(a^2 + 7a + 49)$ Ans
Q3. Factorize:
(i) $(a + b)^3 + (a - b)^3$
(ii) $\dfrac{8a^3}{27} - \dfrac{b^3}{8}$
(iii) $a^6 - b^6$
(iv) $a^6 - 7a^3 - 8$
(v) $a^3 - 27b^3 + 2a^2b - 6ab^2$
Show Answer
(i) $(a + b)^3 + (a - b)^3$
$\because a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Taking $a = (a + b)$ and $b = (a - b)$, we have:
$\therefore ((a + b) + (a - b))((a + b)^2 - (a + b)(a - b) + (a - b)^2)$
$\Rightarrow (a + b + a - b)(a^2 + ab + b^2 - (a^2 - ab + ab - b^2) + a^2 - ab + b^2)$
$\Rightarrow 2a(a^2 + ab + b^2 - a^2 + ab - ab + b^2 + a^2 - ab + b^2)$
$\Rightarrow 2a[(a^2 - a^2 + a^2)(ab + ab - ab - ab)(b^2 + b^2 + b^2)]$
$\Rightarrow 2a(a^2 + 3b^2)$ Ans
(ii) $\dfrac{8a^3}{27} - \dfrac{b^3}{8}$
$\Rightarrow (\dfrac{2a}{3})^3 - (\dfrac{b}{2})^3$
$\Rightarrow (\dfrac{2a}{3} - \dfrac{b}{2})[(\dfrac{2a}{3})^2 + (\dfrac{2a}{3})(\dfrac{b}{2}) + (\dfrac{b}{2})^2]$
$\Rightarrow (\dfrac{2a}{3} - \dfrac{b}{2})[\dfrac{6a}{9} + \dfrac{ab}{3} + \dfrac{b^2}{4}]$ Ans
(iii) $a^6 - b^6$
$\because (a - b)^2 = (a + b)(a - b)$
$\therefore (a^3 - b^3)^2 = (a^3 + b^3)(a^3 - b^3)$
$\Rightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$\Rightarrow (a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$ Ans
(iv) $a^6 - 7a^3 - 8$
Taking $a^3 = x$, we have:
$\Rightarrow x^2 - 7x - 8$
$\Rightarrow x^2 - 8x + x - 8$
$\Rightarrow (x^2 - 8x) + (x - 8)$
$\Rightarrow x(x - 8) + 1(x - 8)$
$\Rightarrow (x - 8)(x + 1)$
Now reverting $x$ back to $a^3$, we have:
$\Rightarrow (a^3 - 8)(a^3 + 1)$
$\Rightarrow ((a)^3 - (2)^3)((a)^3 + (1)^3)$
$\Rightarrow (a - 2)(a^2 + (a)(2) + (2)^2)(a + 1)(a^2 - (a)(1) + (1)^2)$
$\Rightarrow (a - 2)(a^2 + 2a + 4)(a + 1)(a^2 - a + 1)$
$\therefore (a - 2)(a + 1)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - a + 1)$ Ans
(v) $a^3 - 27b^3 + 2a^2b - 6ab^2$
$\Rightarrow a^3 - (3b)^3 + 2ab(a - 3b)$
$\Rightarrow (a - 3b)^3 + 2ab(a - 3b)$
$\Rightarrow (a - 3b)(a^2 + (a)(3b) + (3b)^2) + 2ab(a - 3b)$
$\Rightarrow (a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2 + 2ab)(a - 3b)$
$\Rightarrow (a - 3b)(a^2 + 5ab + 9b^2)(a - 3b)$
$\therefore (a - 3b)(a^2 + 5ab + 9b^2)$ Ans
$\because a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Taking $a = (a + b)$ and $b = (a - b)$, we have:
$\therefore ((a + b) + (a - b))((a + b)^2 - (a + b)(a - b) + (a - b)^2)$
$\Rightarrow (a + b + a - b)(a^2 + ab + b^2 - (a^2 - ab + ab - b^2) + a^2 - ab + b^2)$
$\Rightarrow 2a(a^2 + ab + b^2 - a^2 + ab - ab + b^2 + a^2 - ab + b^2)$
$\Rightarrow 2a[(a^2 - a^2 + a^2)(ab + ab - ab - ab)(b^2 + b^2 + b^2)]$
$\Rightarrow 2a(a^2 + 3b^2)$ Ans
(ii) $\dfrac{8a^3}{27} - \dfrac{b^3}{8}$
$\Rightarrow (\dfrac{2a}{3})^3 - (\dfrac{b}{2})^3$
$\Rightarrow (\dfrac{2a}{3} - \dfrac{b}{2})[(\dfrac{2a}{3})^2 + (\dfrac{2a}{3})(\dfrac{b}{2}) + (\dfrac{b}{2})^2]$
$\Rightarrow (\dfrac{2a}{3} - \dfrac{b}{2})[\dfrac{6a}{9} + \dfrac{ab}{3} + \dfrac{b^2}{4}]$ Ans
(iii) $a^6 - b^6$
$\because (a - b)^2 = (a + b)(a - b)$
$\therefore (a^3 - b^3)^2 = (a^3 + b^3)(a^3 - b^3)$
$\Rightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$\Rightarrow (a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$ Ans
(iv) $a^6 - 7a^3 - 8$
Taking $a^3 = x$, we have:
$\Rightarrow x^2 - 7x - 8$
$\Rightarrow x^2 - 8x + x - 8$
$\Rightarrow (x^2 - 8x) + (x - 8)$
$\Rightarrow x(x - 8) + 1(x - 8)$
$\Rightarrow (x - 8)(x + 1)$
Now reverting $x$ back to $a^3$, we have:
$\Rightarrow (a^3 - 8)(a^3 + 1)$
$\Rightarrow ((a)^3 - (2)^3)((a)^3 + (1)^3)$
$\Rightarrow (a - 2)(a^2 + (a)(2) + (2)^2)(a + 1)(a^2 - (a)(1) + (1)^2)$
$\Rightarrow (a - 2)(a^2 + 2a + 4)(a + 1)(a^2 - a + 1)$
$\therefore (a - 2)(a + 1)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - a + 1)$ Ans
(v) $a^3 - 27b^3 + 2a^2b - 6ab^2$
$\Rightarrow a^3 - (3b)^3 + 2ab(a - 3b)$
$\Rightarrow (a - 3b)^3 + 2ab(a - 3b)$
$\Rightarrow (a - 3b)(a^2 + (a)(3b) + (3b)^2) + 2ab(a - 3b)$
$\Rightarrow (a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2 + 2ab)(a - 3b)$
$\Rightarrow (a - 3b)(a^2 + 5ab + 9b^2)(a - 3b)$
$\therefore (a - 3b)(a^2 + 5ab + 9b^2)$ Ans
Q4. Factorize:
(i) $a^3 + b^3 - 2a - 2b$
(ii) $8a^3 - b^3 - 4ax + 2bx$
(iii) $a - b - a^3 + b^3$
Show Answer
(i) $a^3 + b^3 - 2a - 2b$
$\Rightarrow a^3 + b^3 - 2(a + b)$
$\Rightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2) - 2(a + b)$
$\Rightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2 - 2)(a + b)$
$\therefore (a + b)(a^2 - ab + b^2 - 2)$ Ans
(ii) $8a^3 - b^3 - 4ax + 2bx$
$\Rightarrow (2a)^3 - (b)^3 - 2x(2a - b)$
$\Rightarrow (2a - b)((2a)^2 - (2a)(b) + (b)^2) - 2x(2a - b)$
$\Rightarrow (2a - b)(4a^2 - 2ab + b^2 - 2x)(2a - b)$
$\therefore (2a - b)(4a^2 - 2ab + b^2 - 2x)$ Ans
(iii) $a - b - a^3 + b^3$
$\Rightarrow (a - b) - (a^3 - b^3)$
$\Rightarrow (a - b) - [(a - b)(a^2 + ab + b^2)]$
$\Rightarrow (a - b)[1 - (a^2 + ab + b^2)]$
$\Rightarrow (a - b)[1 - a^2 - ab - b^2]$ Ans
$\Rightarrow a^3 + b^3 - 2(a + b)$
$\Rightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2) - 2(a + b)$
$\Rightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2 - 2)(a + b)$
$\therefore (a + b)(a^2 - ab + b^2 - 2)$ Ans
(ii) $8a^3 - b^3 - 4ax + 2bx$
$\Rightarrow (2a)^3 - (b)^3 - 2x(2a - b)$
$\Rightarrow (2a - b)((2a)^2 - (2a)(b) + (b)^2) - 2x(2a - b)$
$\Rightarrow (2a - b)(4a^2 - 2ab + b^2 - 2x)(2a - b)$
$\therefore (2a - b)(4a^2 - 2ab + b^2 - 2x)$ Ans
(iii) $a - b - a^3 + b^3$
$\Rightarrow (a - b) - (a^3 - b^3)$
$\Rightarrow (a - b) - [(a - b)(a^2 + ab + b^2)]$
$\Rightarrow (a - b)[1 - (a^2 + ab + b^2)]$
$\Rightarrow (a - b)[1 - a^2 - ab - b^2]$ Ans